数学/中学校レベル
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負の数[編集 | ソースを編集]
- マイナス×マイナス=プラス
- (-5)-(-6)=-5+6=1
- (-5)×(-6)=5×6=30
- これが定着する以前、修道士だったかの手記に「借金かける借金が財産であることをみんな分かってくれない」みたいなボヤキがあったとか。
- 負の数を扱えると、符号にさえ注意すれば項を左右に自由に移項できるようになる。
- 使用する場面といえば…気温、標高、ゴルフのスコア。高校では電荷でも使用する。
累乗・指数[編集 | ソースを編集]
- 「aのb乗=ab」のような形で覚えさせられる。
- 「10n」なら、「1の後に0をn個並べて書く」だけなので、とても簡単に見えるが、底a・指数bの値が大きくなるごとに計算の手間がかかることを実感させられる。
- 10の累乗数で説明するより、2の累乗数で説明した方が解りやすい。
- 20 = 1(優勝チームは1つだけ)。21 = 2(決勝には2チームが出る)。22 = 4(準決勝には4チームが出る)。23 = 8(準々決勝には8チームが出る)。24 = 16(ラウンド16)。
- バイナリ
- 20 = 1(優勝チームは1つだけ)。21 = 2(決勝には2チームが出る)。22 = 4(準決勝には4チームが出る)。23 = 8(準々決勝には8チームが出る)。24 = 16(ラウンド16)。
- 10の累乗数で説明するより、2の累乗数で説明した方が解りやすい。
- 高校になると指数のとる範囲が実数に広がる。
- 0の0乗(=0÷0)はない。
- 「00 = 1」とする説もあるけどね。実際、「n0 = 1」をスタートに定義したほうが上手くいくらしい。
- 23 = 1×2×2×2 = 8 , 03 = 1×0×0×0 = 0
- 説というか、その都度定義するのが主流のやり方。f(x)=ax(a is not 0)でグラフを描くと全ての点で連続になることからao=1と定義するのが数学上扱いやすい。また、上にも出てきてる通り0nから考えると00=0と導けそう。
- 2-3 = 1÷2÷2÷2 = 1/8
- 23 = 1×2×2×2 = 8 , 03 = 1×0×0×0 = 0
- 「00 = 1」とする説もあるけどね。実際、「n0 = 1」をスタートに定義したほうが上手くいくらしい。
- 0の0乗(=0÷0)はない。
- 「10n」なら、「1の後に0をn個並べて書く」だけなので、とても簡単に見えるが、底a・指数bの値が大きくなるごとに計算の手間がかかることを実感させられる。
- 実は√n=n0.5に等しい。が、中学の指数では小数が用いられない。
- 実務レベルでいうと、十種競技の得点の計算で用いられる。
- 数字が爆発するいい例
- 数字の桁が多すぎる場合、6.023×1023のように、省略するために使うことも多い。
- 同様に小数点以下が多すぎる場合も9×10-9という形で使うことも多い。
- 自然科学ではa×10n(0≦a<10, nは整数)とする。
- 一方情報学では0≦a<1, rは任意の自然数としてa×rnとする(浮動小数点数の正規化)。
- 23=8≠9=32、交換法則は成り立たない。
文字式[編集 | ソースを編集]
- すぐ下の方程式とごっちゃになる人多し。
- 3a+6=a+2 ←×
- 左辺を3で割る→右辺という因果の関係を表したい気持ちはわかるが、式変形は前後で「同値」となるのが原則。
- 3(a+2)=3a+6はすんなりできる人が多い気がする。
- 3a+6=a+2 ←×
- 小学校では〇や◇を使って計算することもあったが、中学以降はアルファベットかギリシア文字を専ら使うようになる。
- 「×」を省略する。「1×」or「×1」も1ごと省略する。割り算は分数で表す、2,j,gの掛け算なら数を前に、文字はアルファベット順に2gjと並べるなどと初めて習う。
- 数または文字の掛け算だけで表された4、k、(gh)/2などを単項式、単項式の和で表されたのが多項式。
- 2/3は単項式、(2x)/3も単項式、1/πも単項式、でも1/xは単項式ではないらしい。
- 分母に変数を含むと、整式では(単項式でも多項式でも)なくなる。
方程式[編集 | ソースを編集]
- XやYやZをひたすら使う。
- xyzじゃない?
- 新宿駅の伝言板に(ry
- 手書きの際には筆記体が用いられることが多い。
- 筆記体でyとzは紛らわしいので、zだけはブロック体(2との区別で斜めの棒に線を入れる)。
- xyzじゃない?
- これを覚えると鶴亀算を苦労してやっていた事がバカバカしくなる。
- だがSPIなどでは逆に鶴亀算を使った方が早く答えられる。
- 解の公式が何故か印象に残る。
- ここで2次方程式でもルートの中が負の数になり、「解なし」になる事例があることを知る。厳密には「実数解なし」だがそれを知るのは複素数・虚数を習ってから。
- 理論上五次だか六次だかまで行くと解答不能になるって本当?
- 正確にいえば、5次以上の方程式になると解の公式が存在しないってこと。
- 3次方程式の解の公式ですら長すぎて、手計算は現実問題では無理。(不可能ではないが)
- 厳密に数式の形で表す方法が存在しないだけで、コンピュータなどを使って小数第◯位まで無限に近似していくことは可能。また、特別な場合(x23=1 とか (x+1)(x+2)(x+3)...(x+23)=1 とか)なら一瞬で求められる。
- 代数的に解決できないだけなので、実は三角関数とか使うと解ける。角の三等分が定規とコンパスだけじゃできない(けど他の作図方法は可能)というのと同じ。
- 文字の置き換えで3次方程式以下の繰り返しになる場合も同様。
- 正確にいえば、5次以上の方程式になると解の公式が存在しないってこと。
- JFKとかYFKとかスコット鉄太朗なんかもこれの1種らしい。
- 数学的に文句を言うなら、勝利の方程式じゃなくて「勝利の定数」のほうが正しいのか?
- 「勝利の作用素」とか「勝利の演算子」とかのほうがしっくりきそう。
- 「定数」だと必ず勝てるんだろうけど、間違うこともあるからやっぱり「方程式」。
- 「勝利の解の公式」
- 数学的に文句を言うなら、勝利の方程式じゃなくて「勝利の定数」のほうが正しいのか?
- 連立方程式の解法には代入法と加減法の2種類があるが、二次式の場合加減法が使えないので注意。
- 「代入法と加減法」と覚えてしまうと、大学入試で詰むことが多い。連立方程式を解くのに必要なのは、本当は「変数を消去する」こと。代入法と加減法は変数消去の1つの手順に過ぎない。
- 式や未知数が多いと「あれをこれに代入して、あれとこれを足し引きして...あれ?」と混乱する。
- 一次方程式は最初は苦労することがあっても最後はアホみたいに簡単になる。
- というかそもそも、「ただの穴埋め算」と言っても過言ではない。
- 方程式でつまづく原因の一つが「移項」らしい。
- やたら小説で比喩として使われる計算の1つ。
- (左辺)=(右辺)となっている文字式はたいがい方程式だ。
- 等式では、両辺を同じもので加減乗除しても良いと習うが、同じ文字(xなど)で割るのはおすすめしない。
- 最高次の項の係数が文字になっていると、その部分が0なのかなどの吟味が必要になる。これは不等式も同様。
不等式[編集 | ソースを編集]
- 方程式の場合は「=」ですむが、不等式になると「<」「≦」「≠」「>」「≧」を使い分けなければならず、混乱する。
- 方程式で正解できても、「<」「≦」「≠」「>」「≧」のいずれを使えばよいかわからなくなる。
- 適当に「a=1,b=2」とか放り込んで、成り立つかどうか確認するのが一番早い。
- 方程式で正解できても、「<」「≦」「≠」「>」「≧」のいずれを使えばよいかわからなくなる。
- グラフを書いて、この直線(方程式の線)から上側、下側と考えればちょっとわかる。
- 概念としては、既に小学校で「~以下・~以上」、「~未満・~を越える数」という表現を学ぶ。
- この時点でしばしば、10未満と9.9以下を混同することが多い。
- 「~を越える数」は「超」という表現が用いられるが、語呂も文字数も合わないせいか見る機会は他の3つに比べて格段に少ない。
- 英語における「under~・over~」は「~以下・~以上」ではなく「~未満・~を越える数」を意味する。
- サッカーなどの「U-20代表」は本来は20歳未満の選手のはずだが、実際は20歳以下で構成されている。
- 開催年の前年末時点で20歳未満という条件だからだが、紛らわしい表現である。
- ちなみに英語では「~以下・~以上」を一語では表現できない。
- 「x or under・x or over」(xと同じか、それ未満(それを超える数))と回りくどい表現だが、そのまま不等号の「≦」「≧」に対応してる。
- サッカーなどの「U-20代表」は本来は20歳未満の選手のはずだが、実際は20歳以下で構成されている。
- 連立不等式ではX<Y<Zのように1つにまとまっている形のものもある。このとき2つの不等式に分けるには左辺・中辺と中辺・右辺の組にする。左辺・右辺の組で解いた解は不等式を満たさない。
関数[編集 | ソースを編集]
- 概ねグラフや放物線が一緒に付いてくる。
- Excelかその他の表計算ソフトを使うと簡単に書ける。
- 式から書くなら理系御用達gnuplot、初心者ならgrapesあたり。
- Google検索に数式を放り込んでもプロットしてくれる。
- 式から書くなら理系御用達gnuplot、初心者ならgrapesあたり。
- 中学では一次関数か、二次関数ならかならず原点が頂点じゃないといけない。
- Excelかその他の表計算ソフトを使うと簡単に書ける。
- 習うこと自体は中学の時だが、関数電卓を使うのはもっと後になってから。
- Excelを使うと楽に計算できるが、当然ながらテストでそんな事が出来る訳もなく…。
- 中学で習う二次関数は頂点を原点に固定する学習指導要領は意味不明。
- 教科書のタイトルは「2乗に比例する関数」あるいは「y = ax2」。先生は「2次関数」って言っちゃってたけど。
- 数学では式からグラフを導き、理科ではグラフから式を導く。
- 反比例は分母に変数が現れる、中学では異質な単元。
- 理数系以外の一般の文章で◯◯に比例する/反比例すると書いてあったら、それぞれ右上がり/右下がりの1次関数であったりする、もっとも「関数」ですらなく、(統計分野で習う)正/負の相関があるというだけに過ぎないが。
- 関数とは一方の値を定めるともう一つの値が唯一つに定まる場合のことを言うが、日常生活でそんな関係にあるものに出会うことはまずない。
- 例えば物の値段と税込み価格の関係は明確に関数。日常生活にないと思うのは甘い。
- 関数とは一方の値を定めるともう一つの値が唯一つに定まる場合のことを言うが、日常生活でそんな関係にあるものに出会うことはまずない。
- 比例・反比例、一次関数はyはxの関数であり、xはyの関数でもある。
- 指数・対数関数もそうかな。
- それは1対1の関数。もとの関数はxの値を定めるとyは一つに定まるのは当然として、逆に、yの値を定めてもそれを満たすxの値が一つに定まるとは限らない。
- 例:y=1のとき、y=x2を満たすx
- 例:y=1/2のとき、y=sin(x)を満たすx
- 一般化すると「ある入力をするとある出力をする」というもの。身近な例だと「ものを食うとうんこが出る」も関数といえる。
- 数学だと数値計算のみだが、プログラミングだと文字式の演算や返り値として論理型(true, false)が出ることも。
- また数学だと戻り値は1つのみと規定している(このため定義域を絞ったりする)が、プログラミングだと複数の戻り値を設定することもできる。
- もし戻り値を1つにしないと、例えばtanπ=tan0であるからπ=0つまり1=0と不都合になってしまう。
素因数分解・因数分解[編集 | ソースを編集]
- 「積」を掛け算される前の状態に戻す計算。基本的に限界まで分解する。
- 1を取り出していくと際限がないのでこれは無視する。
- だから1は素数として扱われない。
- 1を取り出していくと際限がないのでこれは無視する。
- たすき掛けがスムーズに行えればだいだいOK。
- 大数の、最大公約数・最小公倍数を求める際、約数の個数や総和を求める際は素因数分解するといい。
- 「あらゆる整数は素数で一意分解される」という性質は古代ギリシャから知られていたが、それがちゃんと証明されたのは意外と遅く18世紀末のガウスが初。あまりに当たり前過ぎたため誰もその必要性に気づいていなかった。
- 各長方形を組み合わせて別の長方形を作るとき、その1辺の長さを求めることに相当する。
- これは一意に定まる。
- かなり大きな数を素因数分解するのはコンピューターでも苦労する。これを利用したのが公開鍵暗号方式の1つであるRSAである。
乗法公式[編集 | ソースを編集]
- (x+y)2=x2+2xy+y2
- (x-y)2=x2-2xy+y2
- (x+y)(x-y)=x2-y2
- (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
- 因数分解するときは足してxの係数、掛けて定数項になる2数を見つける。
- これの計算問題は「作業」になりがち。
- 下にもあるが、高校だと3乗のものやもっと複雑なものが色々出てくる。
平方根[編集 | ソースを編集]
- 富士山麓オウム鳴く。
- 一夜一夜に人見頃。
- いよいよ兄さん殺す…(1.41421356)
- 人並みに奢れや女子(おなご)。
- 人並みに奢れないケチな人を「√3な人」というらしい。
- 菜に虫いない。
- 一夜一夜に人見頃。
- 中学数学を理解できていないとここで確実に詰む。
- 高校以降になると物理や三角関数にも「√ ̄」が登場したり、しまいには3乗根(=3√ ̄)まで使うので、間違いなく詰む。
- 中学の数学で「虚数」を教わらないので、どうして平方根の中をマイナスにしてはいけない(=√-1がない)のか理解できない。
- 正の数も負の数も2乗すると正の数になるので、負の数からさかのぼっても行きつく先がないから、「√-1は存在しない」ということまでは理解できる。
- √a×√b=√abの公式は、aとbのいずれかが正でないと成り立たないが、中学では特に気にせず使う。
- 根号の中の正負を判定する必要性がある問題が時折みられる。
- √aは、(正の数)aの平方根のうちプラスのほうを指す。
確率[編集 | ソースを編集]
- 大体の場合初歩的な計算はサイコロの目で覚えることになる。
- n/6、n/36、n/216などの分数がある場合は大体これの答え。
- 「順番が決まっているか否か」で確率の数値が異なるのが地味に厄介。
- X人の男子とY人の女子からZ人の役職を選ぶ…的な問題には大体このトラップが仕掛けられている。
- 降水確率が10%なのに強い雨が降ると怒る人がいる。降水確率って「降る確率」であって、「降雨強度」とは別物なのにね。
- 学校でならうものではないが、「モンティホール問題」がすぐに理解できない。
- 3つのうち1つがアタリで、回答者が1つを選択したところで、司会者が選択しなかった2つのうち、ハズレを1つ開けてくれる。このあと、回答者はもう一度残った2つ(始めに選択したものと、選択せず司会者がハズレとしなかったもの)から選び直すことができる。このとき、選択肢を変えた方があたる確率が高い。
- 正直、ウィキペの解説はわかりにくい。
- 1%の確率と聞くと100回試せば一回は出ると解す人が多いが実際には独立した試行だと100人がそれぞれ100回引いても3割以上の人が外す。
- 具体的に書くと当たり1、外れ99の計100個の球が入った箱から1個取り出し確認したら戻す方式。
- 冷静に電卓叩けばパチンコする気や宝籤を買う気が吹き飛ぶこと請け合い。
- ソーシャルゲームのガチャに熱くなる人なんかもこの辺りを勘違いしている場合が多い。
- まあ、ソシャゲのガチャは大抵「最低保証」とか「天井」とかあって単純な確率計算ではないのだが。
- 100回中1回出る→1%は正しそうだけど、逆は成り立たないということ?
- そういう人間はまず確実に「ギャンブラーのジレンマ」に陥っている。何回はずれても確率が上がるわけはなく(独立した試行なら)、100回目だろうが確率は1/100でしかない。
- 「少なくとも〜」という表現が出てきたら、余事象の出番。
- 小学校では、「確からしさ」という。
- 中学だと理論的要素がない
- 中学校数学でも、負の数・文字はあまり使われない。
- 元々は賭博の損益計算をするために考え出された。ちなみに結論は「一番いいのは賭博をしないこと」だったそうな。
- コンピューターゲームでは計算の都合上、n/255かn/65535が使われる事が多い(16進数2桁と4桁)。
- 中学では統計的確率(相対度数)をサラッと終えて数学的確率に入る。
- 前者は試行回数を増やせば本来の確率に近づくと習う。
- 試行回数を増やすほど誤差が少なくなるということ。回数を増やすたびにどれだけ誤差が減るのかは下の統計学の範疇に入る。
- 前者は試行回数を増やせば本来の確率に近づくと習う。
- 中高で習う確率は基本的に離散確率のみ。大学以降だと連続確率も扱いその和は関数の積分値になる。
中学校で習う図形[編集 | ソースを編集]
- (柱体の体積)=底面積×高さ
- (錐体の体積)=底面積×高さ÷3
- 「÷3」を証明するためには、積分を使うか、積分のような考え方を使わなければならない。
- そのため透明な三角柱と三角錐の容器を用いて、三角錐何個分で三角柱の容器が水でいっぱいになるかやらせることも。
- だが水がこぼれるのできれいに3倍になるはずもなく…
- 図形として分解し、1/3になることを解説した図を教科書で見た覚えがあるが(中学時代。当然微分積分はまだ習っていない頃)
- 分解された三角柱を「寄せ集めて(他の角錐とか円錐とかに)変形する」作業が“積分のような考え方”ってことね
- そのため透明な三角柱と三角錐の容器を用いて、三角錐何個分で三角柱の容器が水でいっぱいになるかやらせることも。
- 「÷3」を証明するためには、積分を使うか、積分のような考え方を使わなければならない。
- (柱体の表面積)=(底面積×2)+(底面周×高さ)
- (錐体の表面積)=底面積+(底面周×母線÷2) ※直錐の場合
- (球の表面積)=4π×(半径)2
- (球の体積)=(4/3)π×(半径)3
- 円錐の体積とピタゴラスの定理(三平方の定理)が分かっていれば、積分のように考えると証明できる。
- 球の表面積と体積を混同する
- 体積は、「身の上に心配あるから参上」
- 中学校の数学で、公式の導き方を教えられない数少ない公式。ただし、実験をするケースはある。
- 円錐の側面積は習わないが比較的簡単に求まる。(弧度法にかするところがある)
- ただし数学IIIの知識が必要。
- 合計体積は同じでも表面積を変えることはできる。その方法として粉砕することが挙げられる。例えば1辺1 mの立方体を0.1 mmの立方体に粉砕(各辺10000分割)した時、合計体積は1 m3で変わらないが表面積は6 m2が60000 m2(大体1辺245 mの正方形の敷地と同じくらいの広さ)になる。
- これを応用したのが均一触媒や活性炭。表面積=接触原子数を増やすことで反応しやすくしたもの。
- 逆に、動物が冬眠の時に丸くなるのや、チャーハンが半球形で盛られるのは、表面積を小さくして冷めにくくするため。
- (直角三角形の斜辺の長さ)2=(他の辺aの長さ)2+(他の辺bの長さ)2 ←三平方の定理、あるいはピタゴラスの定理という。
- これの3次元バージョンもあるが学校では習わない。
- フェルマーの最終定理じゃないよ!
- これの3次元バージョンもあるが学校では習わない。
作図問題[編集 | ソースを編集]
- (図を)書けと言われたら分度器なども使えるけど、作図しろと言われたら目盛のない定規とコンパスしか使えないらしい。
- さらに、定規も角を使ってはいけない。直線を引くことしか使えない。
- 垂直二等分線の交点が外心、角の二等分線の交点が内心。
- 円の接線を作図する際に必要なのが、タレスの定理。
- コンパスの針を外してしまう、定規がずれてしまうなど、ちょっとしたミスでも初めからやり直し。
- 角の2等分線は定規とコンパスで作図可能であるが3等分線はできない。なお、さしがねで作図可能とのこと。
- 高校以降ではやらないのかな?
証明問題[編集 | ソースを編集]
- 難しいが配点の大きい分野なのでしっかりマスターしたい。
- 高校と違い答えのみを書かせる場合が多いが、証明問題と作図問題のみ過程も書かせ、評価する場合が多い。
- この証明問題を誘導として辺の長さなどを求める問題が続く。
- 合同条件、相似条件、平行四辺形の条件などがいくつかあるので、それを覚えておき、結論から逆算して考えるとうまくいくことが多い。
- 対応する辺がそれぞれ等しいのが合同、辺の比がそれぞれ等しいのが相似。
- それらの条件は基本的に一字一句正確に覚える必要かもあり少し面倒。
- 太い枠で囲まれた、対頂角、同位角、錯角、平行線の性質は、ここで活かされるので、『だから何?』と言わずに少し辛抱を。
- 中学校は図形の合同・相似のみ。式の証明などは高校になってから。
- 2000年前と基本的に同じ事やってる。
- ここを真面目にやらないと、高校まではうまくやれても大学数学で詰むので注意(大学入試でも詰みかねないが)。